Teorema:

Para

$$n \in \mathbb{N}$$

, tem-se

$$169 \mid 3^{3n + 1} - 26n - 27$$

.

Demonstração:

Para

$$n = 1$$

, tem-se

$$ 3^6 - 26 - 27 = 729 - 53 = 676 = 4 \cdot 169$$

, que verifica o caso base.

Fixado

$$n \in \mathbb{N}$$

, suponhamos:

$$169 \mid 3^{3n + 3} - 26n - 27 \text{ (Hipótese de Indução)}$$

Pretende-se provar que:

$$169 \mid 3^{3(n + 1) + 3} - 26(n + 1) - 27 \text{ (Tese de Indução)}$$

Passo de indução:

$$ \begin{align*} 3^{3(n + 1) + 3} - 26(n + 1) - 27 &= 3^{3n + 3} \cdot 27 - 26n - 26 - 27\newline &= 3^{3n + 3} - 26n - 27 + 26(3^{3n + 3} - 1) \end{align*} $$

Pela Hipótese de Indução, tem-se que:

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \exists k \in \mathbb{N}: 3^{3n + 3} - 26n - 27 = 169k $$

e pelo teorema doutro artigo {% cite 3p3n1mod13 %} tem-se que:

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \exists k' \in \mathbb{N}: 3^n = 13k' + 1$$

, donde se conclui que:

$$ \begin{align*} 169k + 2 \cdot 13(13k'+1-1)&= 169(k + 2k') \end{align*} $$

q.e.d.

Bibliografia #

{% bibliography –cited %}

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EDITED:

• 2023-06-02 23:52:30 +0000

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